\(\int \frac {(e x)^m (A+B x^n)}{(c+d x^n)^2} \, dx\) [32]

Optimal result

Integrand size = 22, antiderivative size = 107 \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right )}{\left (c+d x^n\right )^2} \, dx=-\frac {(B c-A d) (e x)^{1+m}}{c d e n \left (c+d x^n\right )}+\frac {(B c (1+m)-A d (1+m-n)) (e x)^{1+m} \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,\frac {1+m}{n},\frac {1+m+n}{n},-\frac {d x^n}{c}\right )}{c^2 d e (1+m) n} \]

[Out]

-(-A*d+B*c)*(e*x)^(1+m)/c/d/e/n/(c+d*x^n)+(B*c*(1+m)-A*d*(1+m-n))*(e*x)^(1+m)*hypergeom([1, (1+m)/n],[(1+m+n)/
n],-d*x^n/c)/c^2/d/e/(1+m)/n

Rubi [A] (verified)

Time = 0.04 (sec) , antiderivative size = 107, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.091, Rules used = {468, 371} \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right )}{\left (c+d x^n\right )^2} \, dx=\frac {(e x)^{m+1} (B c (m+1)-A d (m-n+1)) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,\frac {m+1}{n},\frac {m+n+1}{n},-\frac {d x^n}{c}\right )}{c^2 d e (m+1) n}-\frac {(e x)^{m+1} (B c-A d)}{c d e n \left (c+d x^n\right )} \]

[In]

Int[((e*x)^m*(A + B*x^n))/(c + d*x^n)^2,x]

[Out]

-(((B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m))/(c*d*e*n*(c + d*x^n))) + ((B*c*(1 + m) - A*d*(1 + m - n))*(e*x)^(1 + m)*Hypergeo
metric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c^2*d*e*(1 + m)*n)

Rule 371

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[a^p*((c*x)^(m + 1)/(c*(m + 1)))*Hyperg
eometric2F1[-p, (m + 1)/n, (m + 1)/n + 1, (-b)*(x^n/a)], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n, p}, x] &&  !IGtQ[p, 0] &&
(ILtQ[p, 0] || GtQ[a, 0])

Rule 468

Int[((e_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.)*((c_) + (d_.)*(x_)^(n_)), x_Symbol] :> Simp[(-(b*c - a*d
))*(e*x)^(m + 1)*((a + b*x^n)^(p + 1)/(a*b*e*n*(p + 1))), x] - Dist[(a*d*(m + 1) - b*c*(m + n*(p + 1) + 1))/(a
*b*n*(p + 1)), Int[(e*x)^m*(a + b*x^n)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, m, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0]
&& LtQ[p, -1] && (( !IntegerQ[p + 1/2] && NeQ[p, -5/4]) ||  !RationalQ[m] || (IGtQ[n, 0] && ILtQ[p + 1/2, 0]
&& LeQ[-1, m, (-n)*(p + 1)]))

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {(B c-A d) (e x)^{1+m}}{c d e n \left (c+d x^n\right )}+\frac {(B c (1+m)-A d (1+m-n)) \int \frac {(e x)^m}{c+d x^n} \, dx}{c d n} \\ & = -\frac {(B c-A d) (e x)^{1+m}}{c d e n \left (c+d x^n\right )}+\frac {(B c (1+m)-A d (1+m-n)) (e x)^{1+m} \, _2F_1\left (1,\frac {1+m}{n};\frac {1+m+n}{n};-\frac {d x^n}{c}\right )}{c^2 d e (1+m) n} \\ \end{align*}

Mathematica [A] (verified)

Time = 0.14 (sec) , antiderivative size = 83, normalized size of antiderivative = 0.78 \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right )}{\left (c+d x^n\right )^2} \, dx=\frac {x (e x)^m \left (B c \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (1,\frac {1+m}{n},\frac {1+m+n}{n},-\frac {d x^n}{c}\right )+(-B c+A d) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (2,\frac {1+m}{n},\frac {1+m+n}{n},-\frac {d x^n}{c}\right )\right )}{c^2 d (1+m)} \]

[In]

Integrate[((e*x)^m*(A + B*x^n))/(c + d*x^n)^2,x]

[Out]

(x*(e*x)^m*(B*c*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)] + (-(B*c) + A*d)*Hypergeometric2F
1[2, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)]))/(c^2*d*(1 + m))

Maple [F]

\[\int \frac {\left (e x \right )^{m} \left (A +B \,x^{n}\right )}{\left (c +d \,x^{n}\right )^{2}}d x\]

[In]

int((e*x)^m*(A+B*x^n)/(c+d*x^n)^2,x)

[Out]

int((e*x)^m*(A+B*x^n)/(c+d*x^n)^2,x)

Fricas [F]

\[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right )}{\left (c+d x^n\right )^2} \, dx=\int { \frac {{\left (B x^{n} + A\right )} \left (e x\right )^{m}}{{\left (d x^{n} + c\right )}^{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((e*x)^m*(A+B*x^n)/(c+d*x^n)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*x^n + A)*(e*x)^m/(d^2*x^(2*n) + 2*c*d*x^n + c^2), x)

Sympy [C] (verification not implemented)

Result contains complex when optimal does not.

Time = 8.80 (sec) , antiderivative size = 2382, normalized size of antiderivative = 22.26 \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right )}{\left (c+d x^n\right )^2} \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((e*x)**m*(A+B*x**n)/(c+d*x**n)**2,x)

[Out]

A*(-c*c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*m**2*x**(m + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)
*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + c*c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n
- 2 - 1/n)*e**m*m*n*x**(m + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamm
a(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + c*c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*m*n*x**(m + 1
)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) - 2*c*c**(m/n + 1/n)*c**(-
m/n - 2 - 1/n)*e**m*m*x**(m + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gam
ma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + c*c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*n*x**(m + 1)
*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*
gamma(m/n + 1 + 1/n)) + c*c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*n*x**(m + 1)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(
m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) - c*c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*e**m*x**(m + 1)*lerc
hphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma
(m/n + 1 + 1/n)) - c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*d*e**m*m**2*x**n*x**(m + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*
pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + c**(m
/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*d*e**m*m*n*x**n*x**(m + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamm
a(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) - 2*c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2
- 1/n)*d*e**m*m*x**n*x**(m + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamm
a(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) + c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*d*e**m*n*x**n*x**(m
+ 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x
**n*gamma(m/n + 1 + 1/n)) - c**(m/n + 1/n)*c**(-m/n - 2 - 1/n)*d*e**m*x**n*x**(m + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_pola
r(I*pi)/c, 1, m/n + 1/n)*gamma(m/n + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 1 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 1 + 1/n))) +
B*(-c*c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m**2*x**(m + n + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/
n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - c*c**(-m/
n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*n*x**(m + n + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*g
amma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + c*c**(-m/n - 3 - 1/n)*c
**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*n*x**(m + n + 1)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamm
a(m/n + 2 + 1/n)) - 2*c*c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*m*x**(m + n + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar
(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/
n)) + c*c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*n**2*x**(m + n + 1)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n
+ 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - c*c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*n*x**(m + n +
1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*
n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) + c*c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*e**m*n*x**(m + n + 1)*gamma(m/n + 1
+ 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - c*c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 +
1/n)*e**m*x**(m + n + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*ga
mma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*d*e**m*m**2*x*
*n*x**(m + n + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n
+ 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*d*e**m*m*n*x**n*x**(m
+ n + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n
) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - 2*c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*d*e**m*m*x**n*x**(m + n + 1)*
lerchphi(d*x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**
3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1/n)) - c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*d*e**m*n*x**n*x**(m + n + 1)*lerchphi(d*
x**n*exp_polar(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamm
a(m/n + 2 + 1/n)) - c**(-m/n - 3 - 1/n)*c**(m/n + 1 + 1/n)*d*e**m*x**n*x**(m + n + 1)*lerchphi(d*x**n*exp_pola
r(I*pi)/c, 1, m/n + 1 + 1/n)*gamma(m/n + 1 + 1/n)/(c*n**3*gamma(m/n + 2 + 1/n) + d*n**3*x**n*gamma(m/n + 2 + 1
/n)))

Maxima [F]

\[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right )}{\left (c+d x^n\right )^2} \, dx=\int { \frac {{\left (B x^{n} + A\right )} \left (e x\right )^{m}}{{\left (d x^{n} + c\right )}^{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((e*x)^m*(A+B*x^n)/(c+d*x^n)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-(B*c*e^m - A*d*e^m)*x*x^m/(c*d^2*n*x^n + c^2*d*n) - (A*d*e^m*(m - n + 1) - B*c*e^m*(m + 1))*integrate(x^m/(c*
d^2*n*x^n + c^2*d*n), x)

Giac [F]

\[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right )}{\left (c+d x^n\right )^2} \, dx=\int { \frac {{\left (B x^{n} + A\right )} \left (e x\right )^{m}}{{\left (d x^{n} + c\right )}^{2}} \,d x } \]

[In]

integrate((e*x)^m*(A+B*x^n)/(c+d*x^n)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*x^n + A)*(e*x)^m/(d*x^n + c)^2, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \frac {(e x)^m \left (A+B x^n\right )}{\left (c+d x^n\right )^2} \, dx=\int \frac {{\left (e\,x\right )}^m\,\left (A+B\,x^n\right )}{{\left (c+d\,x^n\right )}^2} \,d x \]

[In]

int(((e*x)^m*(A + B*x^n))/(c + d*x^n)^2,x)

[Out]

int(((e*x)^m*(A + B*x^n))/(c + d*x^n)^2, x)